O Teorema Poligonal do Dodecagrama

José Eugênio A. G.
(eugenio@wingene.com.br)

Resumo. Estudamos polígonos estrelados regulares $\{n/k\}$ que satisfazem a relação diofantina $k = n/2 - 1$. Provamos que os únicos polígonos desse tipo cujos anéis internos não convexos são todos compostos são $\{8/3\}$ e $\{12/5\}$, e que $\{12/5\}$ é maximal em $n$. Isso identifica o dodecagrama regular como um limiar aritmético preciso na estrutura das estelações regulares.

Palavras-chave: polígonos estrelados, estelação, dodecagrama, geometria discreta

1. Introdução

Polígonos estrelados regulares constituem um tópico clássico da geometria euclidiana e são denotados pelo símbolo de Schläfli $\{n/k\}$. Suas estelações geram anéis internos cujos componentes podem ser polígonos simples, polígonos estrelados ou uniões de múltiplos polígonos regulares. Tratamentos clássicos podem ser encontrados em Coxeter e outros autores.

Introduzimos uma relação aritmética crítica entre $n$ e $k$ e mostramos que o dodecagrama $\{12/5\}$ ocupa uma posição estrutural máxima dentro dessa família. Este teorema estabelece a existência de um limiar preciso para os polígonos estrelados, no qual o $\{12/5\}$ é o maior membro para o qual todos os anéis internos não convexos permanecem compostos.

2. Preliminares

Definição. Um polígono estrelado regular $\{n/k\}$ consiste de $n$ vértices igualmente espaçados em um círculo, com arestas ligando cada vértice ao $k$-ésimo vértice subsequente, onde $\gcd(n,k)=1$ e $1 < k < n/2$.

Definição. Um anel interno de $\{n/k\}$ é a órbita, sob a ação do grupo diedral $D_n$, dos pontos de interseção distintos de pares de arestas não adjacentes e não paralelas que se situam em um mesmo círculo concêntrico.

Definição. Um anel com passo $s$ é composto se $\gcd(n,s)>1$, caso em que consiste de $\gcd(n,s)$ polígonos regulares congruentes. Um anel é simples se $\gcd(n,s)=1$.

3. Relação Crítica

Impomos a condição diofantina

$$ k = \frac{n}{2} - 1, \qquad n = 2(k+1). $$

4. Lemas de Teoria dos Números

Lema (Crescimento do primorial).
Se $p\#$ denota o produto de todos os primos $\le p$, então para $p\ge5$, $$ p\# > 2p. $$

5. Teorema Principal

Teorema (Teorema Poligonal do Dodecagrama).
Se $\{n/k\}$ satisfaz $k=n/2-1$, então as únicas soluções para as quais todos os anéis com $s\ge2$ são compostos são $(8,3)$ e $(12,5)$, e $\{12/5\}$ é maximal em $n$.

Prova. Assuma $n=2(k+1)$ com $k$ ímpar. Os anéis internos correspondem a $$ s\in\{1,2,\dots,k-1\}. $$ Um anel é composto sse $\gcd(n,s)>1$. Casos pequenos. Para $k=3$, $n=8$ funciona. Para $k=5$, $n=12$ funciona. Caso geral $k\ge7$. Seja $q$ o maior primo que divide $n$ entre $3,5,\dots$. Se todos os primos até $q$ dividem $n$, então $$ 2\cdot3\cdot5\cdots q \mid (k+1), $$ de modo que $k+1 \ge q\#/2$. Pelo lema do crescimento do primorial, para $q\ge5$ temos $q\#/2>q$, logo $k\ge q+1$. Seja então $q'$ o próximo primo após $q$. Temos $q' \le k-1$ e $q'\nmid n$, portanto $$ \gcd(n,q')=1, $$ produzindo um anel simples. Logo não há soluções para $k\ge7$.

6. Conclusão

Identificamos $\{12/5\}$ como o membro maximal da família dos polígonos estrelados regulares ($\{12/5\}$ e $\{8/3\}$) cujos anéis internos não convexos permanecem totalmente compostos.